Una curva con nombre fija los parámetros de dominio: el primo p del cuerpo, los coeficientes de la ecuación, un punto base G, el orden primo n de G y el cofactor h (la curva tiene h·n puntos). La seguridad es aproximadamente la mitad de la longitud en bits de n, porque el mejor ataque genérico (rho de Pollard) necesita unos √n pasos, así que una curva de 256 bits ofrece unos 128 bits de seguridad.
Las curvas se presentan en tres formas con fórmulas distintas: la de Weierstrass corta (P-256, P-384, P-521, secp256k1, Brainpool), la de Montgomery (Curve25519 y Curve448, que se usan para X25519 y X448) y la de Edwards torcida (Edwards25519 y Edwards448, que se usan para EdDSA); NIST SP 800-186 §2.1 define las tres.
Identificadores que encontrarás: los OID de curva con nombre de X.509 1.2.840.10045.3.1.7 (P-256), 1.3.132.0.34 (P-384), 1.3.132.0.35 (P-521) y 1.3.132.0.10 (secp256k1); los valores de crv de JOSE P-256, P-384, P-521, secp256k1, Ed25519, X25519; los grupos admitidos de TLS secp256r1 (23), secp384r1 (24), secp521r1 (25), x25519 (29), x448 (30). El RFC 5480 exige curvas con nombre en PKIX, y muchas bibliotecas rechazan los certificados con parámetros de curva explícitos.
En la práctica decide el ecosistema: P-256 para la WebPKI, WebAuthn y las claves en hardware; Ed25519 y X25519 para SSH y los protocolos modernos; secp256k1 para las cadenas de bloques. El laboratorio de curvas elípticas muestra la misma aritmética en curvas pequeñas que puedes dibujar.