A brainpoolP512t1 é a contraparte da brainpoolP512r1 com a = −3, isomorfa a ela e escolhida para uma aritmética mais rápida.
brainpoolP512t1 é uma curva na forma curta de Weierstrass y² = x³ + ax + b sobre um campo primo de 512 bits com um subgrupo de ordem prima de 512 bits e cofator 1; o nível de segurança estimado é de 256 bits. Status: segura, mas regional ou de nicho.
Cada curva Brainpool “r1” tem uma contraparte “t1” obtida por um isomorfismo sobre GF(p) — o parâmetro Z da RFC 5639 §3 leva (x, y) em (Z²x, Z³y) — que transforma o coeficiente a em −3, o que permite uma duplicação de pontos mais rápida. As duas curvas têm grupos isomorfos com a mesma ordem prima e o mesmo nível de segurança (cerca de 256 bits). Veja brainpoolP512r1.
O TLS, o JOSE e o COSE registram apenas as curvas r1; as formas t1 aparecem como OIDs X.509 (RFC 5639 §4.1) e em bibliotecas como o OpenSSL e o Bouncy Castle.