brainpoolP512t1 est l’homologue de brainpoolP512r1 avec a = −3 : elle lui est isomorphe et a été choisie pour une arithmétique plus rapide.
brainpoolP512t1 est une courbe de Weierstrass réduite y² = x³ + ax + b sur un corps premier de 512 bits, avec un sous-groupe d’ordre premier de 512 bits et un cofacteur de 1 ; son niveau de sécurité estimé est de 256 bits. Statut : sûre, mais régionale ou de niche.
Chaque courbe Brainpool « r1 » a une homologue « t1 », obtenue par un isomorphisme sur GF(p) – le paramètre Z de la RFC 5639, §3, envoie (x, y) sur (Z²x, Z³y) – qui transforme a en −3, ce qui accélère le doublement de point. Les deux courbes ont des groupes isomorphes de même ordre premier et le même niveau de sécurité (environ 256 bits). Voir brainpoolP512r1.
TLS, JOSE et COSE n’enregistrent que les courbes r1 ; les formes t1 existent en tant qu’OID X.509 (RFC 5639, §4.1) et dans des bibliothèques telles qu’OpenSSL et Bouncy Castle.